Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a

* Hướng dẫn giải

+ Ta có $\left.\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAC\right)\cap \left(SAB\right)=SA\end{array}\right\}\Rightarrow SA\perp \left(ABC\right)$

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N $\Rightarrow$ N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là $\widehat{SBA}=60°$

$\Rightarrow$ SA = AB.tan$60°$ = 2a$\sqrt{3}$

AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=2a\sqrt{2}$

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị $\overrightarrow{\text{IJ}}$qua ba vectơ không cùng phương $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AS}.$

$\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NJ}\\ =m\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+p\overrightarrow{NS}\\ =m\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+p\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AS}\right)\\ =m\overrightarrow{AB}+\frac{1-p}{2}\overrightarrow{AC}+p\overrightarrow{AS}\end{array}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}\perp \overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{IJ}\perp \overrightarrow{NS}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{NS}=0\end{array}\right.$ 

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: $\overrightarrow{IJ}=-\frac{6}{13}\overrightarrow{AB}+\frac{6}{13}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{13}\overrightarrow{AS}$. Suy ra

$169I{J}^2=36A{C}^2+36A{B}^2+A{S}^2-72\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Thay số vào ta tính được IJ = $\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.

Vậy d(AB; SN) = $\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.

Đáp án D