Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC

* Hướng dẫn giải

+ Kẻ SH $\perp$AC, H $\in$ AC

Do (SAC) $\perp$(ABCD) $\Rightarrow$SH $\perp$(ABCD)

+ BD = 2a $\Rightarrow$AC = 2a

SA = $\sqrt{A{C}^2-S{C}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=a$;

Diện tích tam giác SAC là :  $S_{SAC}=\frac{1}{2}SA. SC= \frac{1}{2}SH. AC$ 

nên : SH = $\frac{SA.SC}{AC}=\frac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: AH = $\sqrt{S{A}^2-S{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{a}{2}$$\Rightarrow$AC = 4AH

Lại có: HC $\cap$(SAD) = A ; $\frac{d\left(C;\left(SAD\right)\right)}{d\left(H;\left(SAD\right)\right)}=\frac{AC}{AH}=$ 4

$\Rightarrow$d(C; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

Do BC // (SAD) (BC//AD) $\Rightarrow$ d(B; (SAD)) = d(C; (SAD))

Do đó d(B; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

+ Kẻ HK $\perp$AD tại K, kẻ HJ $\perp$ SK tại J

Ta chứng minh được HJ $\perp$ (SAD) $\Rightarrow$d(H; (SAD)) = HJ

$\Rightarrow$ d(B; (SAD)) = 4HJ

+ Tính HJ

Tam giác AHK vuông tại K có $\widehat{HAK}=\widehat{CAD}=45°$$\Rightarrow$ HK = AH.sin$45°$= $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Mặt khác: $\frac{1}{H{J}^2}=\frac{1}{H{K}^2}+\frac{1}{S{H}^2}$$\Rightarrow$HJ = $\frac{a\sqrt{21}}{14}$

Vậy d(B; (SAD)) = 4 . $\frac{a\sqrt{21}}{14}$=$\frac{2a\sqrt{21}}{7}$.

Đáp án C