Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB = AC = a

* Hướng dẫn giải

+ Gọi M là trung điểm của B’C’

Vì $∆ABB\text{'}= ∆ACC\text{'} ( c.g.c)$ nên AB'= AC'

Suy ra: tam giác AB’C’ cân tại A $\Rightarrow$AM$\perp$B’C’

Tam giác A’B’C’ cân tại A’( vì A'B' = A'C') $\Rightarrow$A’M $\perp$B’C’

Mà (AB’C’) $\cap$ (A’B’C’) = B’C’

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’B’C’) là góc giữa 2 đường thẳng AM và A’M và chính là góc AMA’ $\Rightarrow \widehat{AMA\text{'}}=60°$ 

Tam  giác A'B'C' cân tại A' có A'M là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, đường phân giác.

$\widehat{MA\text{'}C\text{'}} = \frac{1}{2}\widehat{B\text{'}A\text{'}C\text{'}}= {60}^0; A\text{'}M = A\text{'}C\text{'}. \cos \widehat{MA\text{'}C\text{'}}= \frac{a}{2}$

$\Rightarrow$ AA’ = A’M. tan$60°$= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

+ Ta có BC // (AB’C’) $\Rightarrow$d(BC; (AB’C’)) = d(B; (AB’C’))

+  Vì ABB'A' là hình chữ nhật có hai đường chéo A'B và AB' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:

Suy ra: d(B; (AB’C’)) = d(A’; (AB’C’))

Do đó: d(BC; (AB’C’)) = d(A’; (AB’C’))

+ Ta chứng minh được (AA’M) $\perp$(AB’C’), trong mặt phẳng (AA’M), dựng A’H $\perp$ AM tại H

$\Rightarrow$A’H $\perp$(AB’C’) $\Rightarrow$d(A’; (AB’C’)) = A’H $\Rightarrow$ d(BC; (AB’C’)) = A’H

+ Tính A’H

Ta có: $\frac{1}{A\text{'}{H}^2}=\frac{1}{AA{\text{'}}^2}+\frac{1}{A\text{'}{M}^2} = \frac{4}{3a^2}+ \frac{4}{a^2}=\frac{16}{3a^2}$$\Rightarrow$A’H = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Vậy d(BC; (AB’C’)) = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Đáp án B