Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy

* Hướng dẫn giải

+ Gọi H là trung điểm của BC, AH $\cap$ MP = K

Ta có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC $\Rightarrow$MN // SB; NP //SC; MP //BC

$\Rightarrow$ MN // (SBC); NP // (SBC), mà MN, NP $\subset$(MNP)

$\Rightarrow$ (SBC) // (MNP)

Mà K $\in$ MP $\subset$(MNP)

$\Rightarrow$d((MNP); (SBC)) = d(K; (SBC))

+ Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC $\Rightarrow$ AH $\perp$ BC

Theo giả thiết ta có (ABC) $\perp$ (SBC)

Do đó AH $\perp$ (SBC) mà K $\in$ AH $\Rightarrow$ KH $\perp$ (SBC) $\Rightarrow$ d(K; (SBC)) = KH

$\Rightarrow$d((MNP); (SBC)) = d(K; (SBC)) = KH

+ Tính KH

Ta có MH // = 1/2 AC $\Rightarrow$ MH // = AP $\Rightarrow$ MHPA là hình bình hành

$\Rightarrow$ K là trung điểm của AH  $\Rightarrow$ KH = 1/2AH

Tam giác ABC đều cạnh a $\Rightarrow$ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Do đó KH = $\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Vậy d((MNP); (SBC)) = KH = $\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Đáp án B