Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của CD.

Hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau:  AM =  BM

SUy ra: Tam giác ABM cân tại M.

Gọi N là trung điểm của AB. Khi đó, $MN\perp AB$

Chứng minh tương tự , ta có $MN \perp CD$

Do đó, MN là đường vuông góc chung của AB và CD: d(AB; CD) = MN.

* Ta có: $BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}; BN = \frac{AB}{2}= \frac{a}{2}$

$\Rightarrow MN = \sqrt{B{M}^2- B{N}^2}= \frac{a\sqrt{2}}{2}$