Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số có 2011 chữ số

* Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A.

Đặt $X$ là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

A={ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có $m$ chữ số $\left(m\le 2008\right)$ thì ta có thể bổ sung thêm $2011-m$ số $0$ vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng $\overline{a_1{a}_2...a_{2011}}; a_i\in \left\{0,1,2,3,...,9\right\}$

$A_0=\{a\in A|$mà trong $a$ không có chữ số 9}

 $A_1=\{a\in A|$mà trong $a$ có đúng 1 chữ số 9}

Ta thấy tập A có $1+\frac{9^{2011}-1}{9}$ phần tử

Tính số phần tử của $A_0$

Với $x\in A_0\Rightarrow x=\overline{a_1...a_{2011}}; a_i\in \left\{0,1,2,...8\right\} i=\overline{1,2010} và a_{2011}=9-r với r\in \left[1;9\right], r\equiv \sum _{i=1}^{2010}{a}_i$.

Từ đó ta suy ra $A_0$ có $9^{2010}$ phần tử

Tính số phần tử của $A_1$

Để lập số của thuộc tập $A_1$ ta thực hiện liên tiếp hai bước sau

Bước 1: Lập một dãy gồm $2010$ chữ số thuộc tập $\left\{0,1,2,...,8\right\}$ và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là $9^{2009}$

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9

Do đó $A_1$ có $2010.9^{2009}$ phần tử.

Vậy số các số cần lập là: 

$1+\frac{9^{2011}-1}{9}-9^{2010}-2010.9^{2009}=\frac{9^{2011}-2019.9^{2010}+8}{9}$