Với k,n∈N,2≤k≤n thì giá trị của biểu thức A=nCk+4*(nC(k-1))+6(nC(k-2))+4(nC(k-3))+nC(k-4)-(n+4)Ck+1

* Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: B

Trước hết ta chứng minh công thức $C_k^n+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

$$\begin{gathered} VT=C_n^k+C_n^{k+1} \\ =\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \\ =\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\left(\frac{1}{n-k}+\frac{1}{k+1}\right) \\ =\frac{n!}{k!(n-k-1)!}.\frac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)} \\ =\frac{n!(n+1)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)} \\ =\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=C_{n+1}^{k+1}=VP \end{gathered}$$

Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:

$$\begin{gathered} B=C_n^k+4C_n^{k-1}+6C_n^{k-2}+4C_n^{k-3}+C_n^{k-4} \\ =C_n^k+C_n^{k-1}+3(C_n^{k-1}+C_n^{k-2})+3(C_n^{k-2}+C_n^{k-3})+C_n^{k-3}+C_n^{k-4} \\ =C_{n+1}^k+3C_{n+1}^{k-1}+3C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3} \\ =C_{n+1}^k+C_{n+1}^{k-1}+2(C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-2})+C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3} \\ =C_{n+2}^k+2C_{n+2}^{k-1}+C_{n+2}^{k-2} \\ =(C_{n+2}^k+C_{n+2}^{k-1})+(C_{n+2}^{k-1}+C_{n+2}^{k-2}) \\ =C_{n+3}^k+C_{n+3}^{k-1}=C_{n+4}^k \end{gathered}$$

$\Rightarrow A=B-C_{n+4}^k+1=C_{n+4}^k-C_{n+4}^k+1=1$