Cho biểu thức S=2017C1009 + 2017C1010 + 2017C1011 +...+ 2017C1017. Khẳng định nào sau đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: B

Áp dụng tính chất $C_n^k=C_n^{n-k}$ ta có:

$$\begin{gathered} S=C_{2017}^{1009}+C_{2017}^{1010}+C_{2017}^{2011}+...+C_{2017}^{1017} \\ =C_{2017}^{1008}+C_{2017}^{1007}+C_{2017}^{1006}+...+C_{2017}^0 \end{gathered}$$

Suy ra:

$2S=C_{2017}^0+...+C_{2017}^{1010}+C_{2017}^{1011}+C_{2017}^{1012}+...+C_{2017}^{2017}$

Ta có: ${(a+b)}^{2017}=C_{2017}^0{a}^{2017}+C_{2017}^1{a}^{2016}b+...+C_{2017}^{2017}{b}^{2017}$

Thay a=1, b=1 ta có:

$$\begin{gathered} 2^{2017}=C_{2017}^0{a}^{2017}+C_{2017}^1+C_{2017}^2+...+C_{2017}^{2017} \\ \iff 2^{2017}=2S\iff S=2^{2016} \end{gathered}$$