Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 6( (n+1)C(n-1) ) =nA2+160. Tìm hệ số của x^7

* Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $n\ge 2$

Từ giả thiết, ta có:

$$\begin{gathered} 6C_{n+1}^{n-1}=A_n^2+160\iff 6.\frac{(n+1)!}{(n-1)!.2!}=\frac{n!}{(n-2)!}+160 \\ \iff 3n(n+1)=n(n-1)+160 \\ \iff 2n^2+4n-160=0 \\ \iff n=8( vì điều kiện n\ge 2) \end{gathered}$$

Khi đó, ta được khai triển $(1-2x^3){(2+x)}^8={(2+x)}^8-2x^3{(2+x)}^8$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

${\left(2+x\right)}^8=\sum _{k=0}^8{C}_8^k.2^{8-k}.x^k$

Suy ra hệ số của $x^7$ ứng với k+3=7 $\iff$k=4

Hệ số của $x^7$ trong khai triển $x^3{(2+x)}^8 là 2^4.C_8^4$

Vậy hệ số cần tìm là $2.C_8^7-2.2^4.C_8^4=-2224$.