Cho *1+2x)^n = a0 +a1(x) +...+(an)x^n . Biết a0 +(a1)/2 + (a2)/(2^2)+...+(an)/(2^n) =4096.

* Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: A

Xét ${(1+2x)}^n=a_0+a_1{x}^1+...+a_n{x}^x$.

Thay $x=\frac{1}{2}$ vào hai vế

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\left(1+2.\frac{1}{2}\right)}^n=a_0+a_1.{\frac{1}{2}}^1+...+a_n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n \\ \iff 2^n=4096\iff 2^n=2^{12}\iff n=12 \end{gathered}$$

Biểu thức là: ${\left(1+2x\right)}^{12}$

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k+!}=C_{12}^k.2^k.x^k$

Hệ số lớn nhất$\iff y=C_{12}^k.2^k max(0\le k\le 12)$

Mà hệ số max$\Rightarrow k_{max}\Rightarrow$Muốn k max thì k phải lớn hơn cả số hạng đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn cả số hạng đứng sau nó là (k+1)

Ta có hệ 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{C}_{12}^{k-1}.2^{k-1}<C_{12}^k.2^k\left(1\right)\\ C_{12}^{k+1}.2^{k+1}<C_{12}^k.2^k\left(2\right)\end{array}\right. \\ \left(1\right)\Rightarrow \frac{12!}{(k-1)!(12-k+1)!}.\frac{2^k}{2}<\frac{12!}{k!(12-k)!}.2^k \\ \iff \frac{1}{(k-1)!(13-k)(12-k)!}.\frac{1}{2}<\frac{1}{k(k-1)!(12-k)!} \\ \iff \frac{1}{2.(13-k)}<\frac{1}{k}\iff \frac{1}{13-k}<\frac{2}{k} \end{gathered}$$

(2) ta làm tương tự như trên:
$\Rightarrow \frac{2}{k+1}<\frac{1}{12-k}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{13-k}<\frac{2}{k}\\ \frac{2}{k+1}<\frac{1}{12-k}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}k<\frac{26}{3}\\ k>\frac{23}{3}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}k<8,6\\ k>7,6\end{array}(Mà k là số nguyên)\Rightarrow k=8\right.\right.$

Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức là y(8)=$C_{12}^8.2^8=126720.$