Số nguyên dương n thỏa mãn nC0.(n+1)Cn + nC1.(n+1)C(n-1) +...+ nC(n-1) . (n+1)Cn + nCn.(n+1)C0=1716.

* Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: ${\left(1+x\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1.x+C_{2n+1}^2{x}^2+...+C_{2n+1}^{2n}.x^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}.x^{2n+1}\left(1\right)$

Mặt khác:

$$\begin{gathered} {(1+x)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+...+C_n^{n-1}{x}^{n-1}+C_n^n{x}^n \\ {(1+x)}^{n+1}=C_{n+1}^0+C_{n+1}^{1}x+C_{n+1}^x{x}^2+...+C_{n+1}^{n-1}{x}^{n-1}+C_{n+1}^n{x}^n+C_{n+1}^{n+1}{x}^{n+1} \end{gathered}$$

Suy ra:

${(1+x)}^n.{(1+x)}^{n+1}=\left(Cn0+Cn1x+Cn2.x\right)$²+...+Cnnxⁿ.Cn+10+Cn+11x+...+Cn+1n+1xⁿ⁺¹(2)

Từ (1) và (2), đồng nhất hệ số của $x^n$ ta được:

$C_n^0.C_{n+1}^n+C_n^1.C_{n+1}^{n-1}+...+C_n^{n-1}.C_{n+1}^n+C_n^n.C_{n+1}^0=C_{2n+1}^n$

Với n=9 ta có: $C_{2n+1}^n=C_{19}^9=92378.$

Với n=8 ta có: $C_{2n+1}^n=C_{17}^8=24310.$

Với n=7 ta có: $C_{2n+1}^n=C_{15}^7=6435.$

Với n=6 ta có: $C_{2n+1}^n=C_{13}^6=1716.$