Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến (BCD) là:

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

\( \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right)\)

Ta có \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = 3d\left( {H,\left( {BCD} \right)} \right)\)

Kẻ \(HK\bot DM\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot DH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {DAM} \right)\\
 \Rightarrow BC \bot HK
\end{array}\)

Mà \(HK \bot DM \Rightarrow HK \bot \left( {BCD} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\
 \Rightarrow DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}
\end{array}\)

Ta lại có: 

\(\begin{array}{l}
HM = \frac{1}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{D^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}}\\
 \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt 6 }}{9}\\
 \Rightarrow d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = 3.\frac{{a\sqrt 6 }}{9} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}
\end{array}\)