Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó \(\cos \left( {AB,DM} \right)\) bằng

* Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\)

Mặt khác

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = AB.AM.\cos {30^0} - AB.AD.\cos {60^0}\\ = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2}\\ = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}. \end{array}\)

Do có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Suy ra \(\cos \left( {AB,DM} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).