Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC'. Thiết diện là hình gì?

* Hướng dẫn giải

Ta có AC là hình chiếu của AC' lên (ABCD).

Mà \(AC \bot BD\) nên \(AC' \bot BD,{\rm{ }}(1)\)

Ta có \(\left. \begin{array}{l} AD \bot (AA'B'B)\\ A'B \subset (AA'B'B \end{array} \right\} \Rightarrow A'B \bot AD\)

Lại có \(A'B \bot AB'\) suy ra 

\(\left. \begin{array}{l} A'B \bot (AB'C'D)\\ AC' \subset (AB'C'D) \end{array} \right\} \Rightarrow AC' \bot A'B,{\rm{ }}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC' \bot (A'BD),{\rm{ }}(3)\)

Mặt phẳng trung trực AC' là mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua trung điểm I của AC' và \((\alpha ) \bot AC',{\rm{ }}(4)\) 

Từ (3) và (4) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} mp(\alpha ){\rm{ qua }}I\\ (\alpha ){\rm{//}}(A'BD) \end{array} \right.\)

Do đó

Qua I dựng MQ // BD

Dựng \(\begin{array}{l} MN{\rm{//A'D}}\\ {\rm{NP//}}B'D'{\rm{//}}BD\\ QK{\rm{//B'C//A'D}}\\ KH{\rm{//}}BD \end{array}\)

Mà \(MN = NP = PQ = QK = KM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra thiết diện là lục giác đều.