Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm M sao cho giá trị của biểu thức \(P=M A^{2}+M B^{2}+M C^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

* Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC\(\Rightarrow\)cố định và GA \(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}\) .

\(\begin{array}{l} P=(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A})^{2}+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B})^{2}+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C})^{2} \\ =3 M G^{2}+2 \overrightarrow{M G} \cdot(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C})+G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \\ =3 M G^{2}+G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \geq G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow M \equiv G\).

Vậy \(P_{\min }=G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \text { với } M \equiv G\) là trọng tâm tam giác ABC.