Giá trị của giới hạn \(\lim bằng?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(P(n)=\frac{2 n^{3}-3 n^{2}+n}{6}=\frac{n(n-1)(2 n+1)}{6}\) thì ta có

\(\begin{aligned} 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2} &=(P(2)-P(1))+(P(3)-P(2))+\cdots+(P(n+1)-P(n)) \\ &=P(n+1)-P(1)=\frac{n(n+1)(2 n+3)}{6} \end{aligned}\)

Do đó \(\lim \frac{1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}}{n\left(n^{2}+1\right)}=\lim \frac{n(n+1)(2 n+3)}{6 n\left(n^{2}+1\right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)