Giá trị của giới hạn \(\lim n-1)(2 bằng?

* Hướng dẫn giải

Với mọi \(k \in \mathbb{N}^{*} \text { thì } \frac{1}{(2 k-1)(2 k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 k-1}-\frac{1}{2 k+1}\right)\)

Khi đó

\(\begin{aligned} \lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\right.&=\lim \frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right] \\ &=\lim \frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{2 n+1}\right]=\frac{1}{2} \end{aligned}\)