Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết...

* Hướng dẫn giải

Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống.

Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng \(\frac{3}{4}\) lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là

\({S_1} = 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} + ...\)

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 6.\frac{3}{4} = \frac{9}{2}\) và công bội \(q = \frac{3}{4}\). Suy ra \({S_1} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{1 - \frac{3}{4}}} = 18\).

Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên nên là 

\({S_2} = 6 + 6.\left( {\frac{3}{4}} \right) + 6.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} + ...\)

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 6 và công bội \(q = \frac{3}{4}\). Suy ra \({S_2} = \frac{6}{{1 - \frac{3}{4}}} = 24\).

Vậy tổng quãng đường bóng bay là \(S = {S_1} + {S_2} = 18 + 24 = 42\).