Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 = 1 và \({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1\), \(\forall n \ge 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của n để \(\log {a_n} > 100\).

* Hướng dẫn giải

\({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1 \Leftrightarrow {a_n} - \frac{1}{9} = 10\left( {{a_{n - 1}} - \frac{1}{9}} \right)\,\,(1)\)

Đặt \( {b_n} = {a_n} - \frac{1}{9} \Rightarrow {b_1} = {a_1} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\). Từ \((1) \Rightarrow {b_n} = 10{b_{n - 1}},\forall n \ge 2\)

Dãy (b_n) là cấp số nhân với công bội là q = 10. Nên \({b_n} = {b_1}.{q^{n - 1}} = \frac{8}{9}{.10^{n - 1}}\).

Do đó \({a_n} = {b_n} + \frac{1}{9} = \frac{8}{9}{10^{n - 1}} + \frac{1}{9},\forall n = 1,2,...\).

Ta có \(\log {a_n} > 100 \Leftrightarrow {a^n} > {10^{100}} \Leftrightarrow \frac{8}{9}{10^{n - 1}} + \frac{1}{9} > {10^{100}}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của n để \(\log {a_n} > 100\) là n = 102.