Tìm m để các hàm số \(f(x) = \left\{ {x + 1} - \ khi \ }}x > 0\\ 2{x^2} + 3m + 1{\rm{ \ khi \ }}x \le 0 \right.\) liên tục trên R.

* Hướng dẫn giải

Với x > 0 ta có: \(f(x) = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\) nên hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Với x < 0 ta có: \(f(x) = 2{x^2} + 3m + 1\) nên hàm số liên tục trên \(( - \infty ;0)\)

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0

Ta có: \(f(0) = 3m + 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2{x^2} + 3m + 1} \right) = 3m + 1\)

Do đó hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{6}\)