Cho hình vuông có cạnh bằng 1. Gọi Ak+1, Bk+1, Ck+1, Dk+1 thứ tự là trung điểm các cạnh AkBk, BkCk, CkDk, DkAk (với k = 1, 2, ... ). Chu vi của hình vuông bằng

* Hướng dẫn giải

Hình vuông có cạnh bằng a thì có chu vi là 4a. Hình vuông có các đỉnh là trung điểm của hình vuông ban đầu có cạnh bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) có chu vi là \(2a\sqrt 2 \).

Đường chéo của hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có độ dài bằng \(\sqrt 2 \) nên cạnh của hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có độ dài bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Đường chéo của hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có độ dài bằng 1 nên cạnh của hình vuông \({A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\) có độ dài bằng \(\frac{1}{2}.\)

Đường chéo của hình vuông \({A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\) có độ dài bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên cạnh của hình vuông \({A_4}{B_4}{C_4}{D_4}\) có độ dài bằng \(\frac{1}{{2\sqrt 2 }}.\)

Cứ như thế độ dài các cạnh hình vuông tạo thành một cấp số nhân có u1 = 1, công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên độ dài cạnh của hình vuông \({A_{2018}}{B_{2018}}{C_{2018}}{D_{2018}}\) là: \({u_{2008}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{2017}}}}\) nên chu vi hình vuông đó là: \(4{u_{2018}} = \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{2017}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{{2^{1007}}}}.\)