Giá trị của tổng \(4 + 44 + 444 + ... + 44...4\) (tổng đó có 2018 số hạng) bằng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(S = 4 + 44 + 444 + ... + 44...4\) (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có:

\(\frac{9}{4}S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9\)

\(= \left( {10 - 1} \right) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + ...\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\)

Suy ra: \(\frac{9}{4}S = \left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2018}}} \right) - 2018 = A - 2018\).

Với \(A = 10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\) là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 10, công bội q = 10 nên ta có \(A = {u_1}\frac{{1 - {q^{2018}}}}{{1 - q}} = 10\frac{{1 - {{10}^{2018}}}}{{ - 9}} = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9}\).

Do đó \(\frac{9}{4}S = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018 \Leftrightarrow S = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\).