Tìm tất cả các số tự nhiên k sao cho \(C_{14}^k,C_{14}^{k + 1},C_{14}^{k + 2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

* Hướng dẫn giải

\(C_{14}^k,C_{14}^{k + 1},C_{14}^{k + 2}\) theo thứ tự lập thành CSC

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2C_{14}^{k + 1} = C_{14}^k + C_{14}^{k + 2}\\
 \Leftrightarrow 2\frac{{14!}}{{(k + 1)!(13 - k)!}} = \frac{{14!}}{{k!(14 - k)!}} + \frac{{14!}}{{(k + 2)!(12 - k)!}}\\
 \Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = 4\\
k = 8
\end{array} \right.
\end{array}\)