Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(DM\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(\Delta ABC\).

\( \Rightarrow MN//AB \Rightarrow \angle \left( {AB;DM} \right) = \angle \left( {MN;DM} \right)\).

Ta có: \(MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\), \(DM,\,\,DN\) là các đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh \(a\) nên \(DM = DN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(DMN\) ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle DMN = \dfrac{{D{M^2} + M{N^2} - D{N^2}}}{{2DM.MN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)

Vậy \(\cos \angle \left( {AB;DM} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn A.