Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AOA'} \right) \Rightarrow BD \bot OA'\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BDA'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\\left( {BDA'} \right) \supset OA' \bot BD\\\left( {ABCD} \right) \supset OA \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {BDA'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {OA';OA} \right) = \angle A'OA\)

Giả sử \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh bằng 1 \( \Rightarrow AC = \sqrt 2  \Rightarrow OA = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(OAA'\) có: \(OA' = \sqrt {O{A^2} + AA{'^2}}  = \sqrt {\dfrac{1}{2} + 1}  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).

\( \Rightarrow \cos \angle A'OA = \dfrac{{OA}}{{AA'}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\cos \angle \left( {\left( {BDA'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Chọn D