Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Ta có \(AC \cap \left( {SBD} \right) = O \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{CO}}{{AO}} = 1\).

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SAO} \right)\) dựng \(AH \bot SO\,\,\left( {H \in SO} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\).

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\). 

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {60^0}\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2  \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(SAC:\,\,SO = AC.\tan {60^0} = a\sqrt 2 .\sqrt 3  = a\sqrt 6 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAO\) ta có: \(AH = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {78} }}{{13}}\).

Chọn B.