Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh khối 10, 5 học sinh

* Hướng dẫn giải

Chọn D

$\Omega$ “Xếp 10 học sinh thành một hàng ngang” => n($\Omega$) = 10!

A “Không có học sinh khối 11 nào xếp giữa hai học sinh khối 10”.

Trường hợp I (2 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau):

Bước 1: Buộc 2 học sinh khối 10 thành một phần tử X và đổi chỗ 2 học sinh đó có 2! cách.

Bước 2: Xếp phần tử X và 8 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 9! cách.

Vậy, có 9!.2! cách.

Trường hợp II (giữa 2 học sinh khối 10 có 1 học sinh khối 12):

Bước 1: Chọn 1 học sinh khối 12 trong 3 học sinh có $C_3^1$ cách.

Bước 2: Buộc 2 học sinh khối 10 và học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ 2 học sinh khối 10 có 2! cách.

Bước 3: Xếp phần tử X và 7 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 8! cách.

Vậy, có $C_3^1$.2!.8! cách.

Trường hợp III (giữa 2 học sinh khối 10 có 2 học sinh khối 12):

Bước 1: Chọn 2 học sinh khối 12 trong 3 học sinh có $C_3^2$ cách.

Bước 2: Buộc 2 học sinh khối 10 và 2 học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ 2 học sinh khối 10, đổi chỗ 2 học sinh khối 12 có 2!.2! cách.

Bước 3: Xếp phần tử X và 6 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 7! cách.

Vậy, có $C_3^2$.2!.2!.7!cách.

Trường hợp IV (giữa 2 học sinh khối 10 có 3 học sinh khối 12):

Bước 1: Buộc 2 học sinh khối 10 và 3 học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ 2 học sinh khối 10, đổi chỗ 3 học sinh khối 12 có 2!.3! cách.

Bước 2: Xếp phần tử X và 5 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 6! cách.

Vậy, có 2!.3!.6! cách.

Theo quy tắc cộng, ta được