Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.1) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng BC.

* Hướng dẫn giải

1) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
OA \bot OB\\
OA \bot OC\\
OB \cap OC = O
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

2) Gọi H là trực tâm tam giác \(ABC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)

Chứng minh được \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Chỉ ra được \(\sin  = \alpha \frac{{OH}}{{OA}},\sin \beta  = \frac{{OH}}{{OB}},\sin \gamma  = \frac{{OH}}{{OC}}\) và \({\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 2\)

Ta lại có: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\beta  + {{\cos }^2}\gamma } \right)^2} \le 3\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\beta  + {{\cos }^2}\gamma } \right) = 6\\
 \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  + {\rm{cos}}\beta  + {\rm{cos}}\gamma  \le \sqrt 6 
\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \(\sqrt 6 \)

Dấu bằng xảy ra khi \(\cos \alpha  = \cos \beta  = \cos \gamma  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)