Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình vuông tâm O có cạnh \(a, SA = a\sqrt 5 \) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

* Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\
CD \bot AD\left( {ABCD\,\,\left( {hv} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\
AC \bot BD
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\) . Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

c) Gọi H là hình chiếu của A lên SD

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot SD\\
AH \bot CD\left( {CD \bot \left( {SAD} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\\
 \Rightarrow d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH
\end{array}\)

Xét tam giác vuông SAD vuông tại A có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{5{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{6}{{5{a^2}}}\\
 \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {30} }}{6}
\end{array}\)

Vậy \(d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {30} }}{6}\)