Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a,{\rm{ }}SA \bot \left( {ABC} \right),\) góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \(60^0\). Gọi M là trung điểm BC.

* Hướng dẫn giải

a) Ta có 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot \left( {ABC} \right)\\
AM \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow SM \bot AM\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\\
BC \bot AM
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow \left( {SAM} \right) \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)

b) Dựng hình thoi ACBE ta có: \(AC//BE \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right)\)

Nên \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right)\)

Gọi F là trung điểm BE, kẻ \(AH\bot SF\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
BE \bot AF\\
BE \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAF} \right) \Rightarrow BE \bot AH\). Do đó \(AH\bot (SBE)\)

Khi đó \(d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right) = AH\)

\(\begin{array}{l}
AF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \\
AH = \frac{{AH.SA}}{{\sqrt {A{H^2} + S{A^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\\
d\left( {AC,SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}
\end{array}\)