a. Cho hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 2\) có đồ thị là (C).

* Hướng dẫn giải

a) Phương trình tiếp tuyết có dạng: \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}\)

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y =  - 3x - 7 \Rightarrow f'({x_0}) =  - 3\)

\( \Leftrightarrow 3{x_0}^2 - 10{x_0} =  - 3 \Leftrightarrow 3{x_0}^2 - 10{x_0} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 3\\
{x_0} = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
 + \quad {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} =  - 16;\quad \\
 + \quad {x_0} = \frac{1}{3} \Rightarrow {y_0} = \frac{{40}}{{27}}
\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3,-16) là:

\(y =  - 3(x - 3) - 16 =  - 3x - 7\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(N(\frac{1}{3};\frac{{40}}{{27}})\)là:

\(y =  - 3(x - \frac{1}{3}) + \frac{{40}}{{27}} =  - 3x + \frac{{67}}{{27}}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:

\(y =  - 3x + \frac{{67}}{{27}}\)

b) TXĐ D=R\{-1}.  Ta có \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\; \Rightarrow y' = \frac{{1 - m}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

Hoành độ giao điểm của  đồ thị \((C_m)\) với trục hoành là x = -m

\(x =  - m \Rightarrow {k_1} = y'( - m) = \frac{1}{{1 - m}}\) \(;\quad x = 1 \Rightarrow {k_2} = y'(1) = \frac{{1 - m}}{4}\)

Ta có 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {{k_1} + {k_2}} \right| = \left| {\frac{1}{{1 - m}} + \frac{{1 - m}}{4}} \right| = \left| {\frac{1}{{1 - m}}} \right| + \left| {\frac{{1 - m}}{4}} \right| \ge 2\sqrt {\frac{1}{{1 - m}}.\frac{{1 - m}}{4}}  = 1,\forall m \ne 1}
\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{{1 - m}}} \right| = \left| {\frac{{1 - m}}{4}} \right| \Leftrightarrow {{(1 - m)}^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m =  - 1}\\
{m = 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)