Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x.\) Gọi là đồ thị của hàm số \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right).

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k} \right)}} = {2^{4k}}c{\rm{os}}2x\\
{f^{\left( {4k + 1} \right)}} =  - {2^{4k + 1}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}} =  - {2^{4k + 2}}c{\rm{os}}2x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}} = {2^{4k + 3}}\sin 2x
\end{array}\).               

 Do đó (C) là đồ thị hàm số \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{50}}c{\rm{os}}2x.\)   

Ta có: \(y' = {f^{51}}\left( x \right) = {2^{51}}\sin 2x\)

Tiếp tuyến tại điểm \(x = \frac{\pi }{6}\) có phương trình:

\(\begin{array}{l}
y = y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow y = {2^{51}}\sin \frac{\pi }{3}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{50}}c{\rm{os}}\frac{\pi }{3}\\
y = {2^{51}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{50}}.\frac{1}{2} \Leftrightarrow y = {2^{50}}\sqrt 3 \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{49}}\\
y = {2^{50}}.\sqrt 3 x - \frac{{{2^{50}}\sqrt 3 \pi }}{6} - {2^{49}}
\end{array}\)