a) Chứng minh rằng phương trình \({x^5} - 5{x^4} + 4x - 1 = 0\) có ba nghiệm trong khoảng \(\left( {0;5} \right)\).

* Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số \(f(x)=x^5-5x^4+4x-1\) liên tục trên R

Suy ra \(f(x)\) liên tục trên các đoạn \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right],\left[ {1;\frac{1}{2}} \right];\left[ {1;5} \right]\)

Có \(\left( 0 \right) =  - 1,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{23}}{{32}},f\left( 1 \right) =  - 1,f\left( 5 \right) = 19\)

Suy ra phương trình \(f(x)=0\) có ít nhất 3 nghiệm trên (0;5)

b) Gọi \(N\left( {n;\frac{{n + 2}}{{2 - n}}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến qua M

Phương trình tiếp tuyến: \(y = \frac{{4\left( {x - n} \right)}}{{{{\left( {n - 2} \right)}^2}}} + \frac{{n + 2}}{{n - 2}}\)

Do tiếp tuyến qua M(3;4) ta có \(4 = \frac{{4\left( {3 - n} \right)}}{{{{\left( {n - 2} \right)}^2}}} + \frac{{n + 2}}{{n - 2}} \Leftrightarrow 5{n^2} - 12n = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = \frac{{12}}{5}\\
n = 0
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y=x+1\) hoặc \(y=25x-71\)