Nếu phương trình \(a{x^2} + \left( {b + c} \right)x + d + e = 0\), \(\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có nghiệm \({x_0} \ge 1\) thì

* Hướng dẫn giải

Ta có \(x_0\) là nghiệm của phương trình \(a{x^2} + \left( {b + c} \right)x + d + e = 0\) nên

\(ax_0^2 + \left( {b + c} \right){x_0} + d + e = 0 \Leftrightarrow ax_0^2 + c{x_0} + e =  - \left( {b{x_0} + d} \right)\).

Xét \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = a{x^4} + c{x^2} + e + x\left( {b{x^2} + d} \right)\)

Ta có: \(f\left( {\sqrt {{x_0}} } \right) = ax_0^2 + c{x_0} + e + \sqrt {{x_0}} \left( {b{x_0} + d} \right) = \sqrt {{x_0}} \left( {b{x_0} + d} \right) - \left( {b{x_0} + d} \right) = \left( {b{x_0} + d} \right)\left( {\sqrt {{x_0}}  - 1} \right)\)

\(f\left( {\sqrt {{x_0}} } \right) = ax_0^2 + c{x_0} + e - \sqrt {{x_0}} \left( {b{x_0} + d} \right) =  - \sqrt {{x_0}} \left( {b{x_0} + d} \right) - \left( {b{x_0} + d} \right) =  - \left( {b{x_0} + d} \right)\left( {\sqrt {{x_0}}  + 1} \right)\)

Suy ra: \(f\left( {\sqrt {{x_0}} } \right).f\left( { - \sqrt {{x_0}} } \right) =  - \left( {{x_0} - 1} \right){\left( {b{x_0} + d} \right)^2}\)

Vì \({x_0} \ge 1 \Rightarrow \left( {{x_0} - 1} \right) \ge 0\) nên \(f\left( {\sqrt {{x_0}} } \right).f\left( { - \sqrt {{x_0}} } \right) \le 0\).