Cho dãy số (un) thỏa mãn u1=−1; un=2021 (un−1)−1, mọi n lớn hơn hoặc bằng 2. Tìm giới hạn

+) Ta có: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=2021{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}-1}-1$$\iff {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2020}=2021\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}-1}-\frac{1}{2020}\right)$

+) Đặt ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2020}$. Ta có  ${\mathrm{v}}_1={\mathrm{u}}_1-\frac{1}{2020}=-1-\frac{1}{2020}=-\frac{2021}{2020}$ và ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=2021{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}-1},\forall \mathrm{n}\ge 2$

Suy ra dãy (v_n) là cấp số nhân với công bội là q = 2021, ${\mathrm{v}}_1=-\frac{2021}{2020}$

Khi đó ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{v}}_1.{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}-1}=-\frac{2021}{2020}.{2021}^{\mathrm{n}-1}$$=-\frac{{2021}^{\mathrm{n}}}{2020},\forall \mathrm{n}\ge 1$

Do đó ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2020}=-\frac{{2021}^{\mathrm{n}}}{2020}+\frac{1}{2020},$$\forall \mathrm{n}=1,2,...$

+) Ta có: $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{2021}^{\mathrm{n}}}=\lim \left(-\frac{1}{2020}+\frac{1}{2020{.2021}^{\mathrm{n}}}\right)$$=-\frac{1}{2020}$