Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN // AC nên: $\left(\widehat{\mathrm{MN},\mathrm{AP}}\right)=\left(\widehat{\mathrm{AC},\mathrm{AP}}\right)$

Vì ${\mathrm{\Delta A}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}\mathrm{P}$ vuông tại D' nên ${\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{P}=\sqrt{{\mathrm{A}}^{\text{'}}{{\mathrm{D}}^{\text{'}}}^2+{\mathrm{D}}^{\text{'}}{\mathrm{P}}^2}$$=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\left(\frac{\mathrm{a}}{2}\right)}^2}$$=\frac{\mathrm{a}\sqrt{5}}{2}$

 ${\mathrm{\Delta AA}}^{\text{'}}\mathrm{P}$ vuông tại A' nên $\mathrm{AP}=\sqrt{{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{P}}^2}$$=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\left(\frac{\mathrm{a}\sqrt{5}}{2}\right)}^2}$$=\frac{3\mathrm{a}}{2}$

${\mathrm{\Delta CC}}^{\text{'}}\mathrm{P}$ vuông tại C' nên $\mathrm{CP}=\sqrt{\mathrm{C}{{\mathrm{C}}^{\text{'}}}^2+{\mathrm{C}}^{\text{'}}{\mathrm{P}}^2}$$=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}}$$=\frac{\mathrm{a}\sqrt{5}}{2}.$

Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên $\mathrm{AC}=\mathrm{a}\sqrt{2}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:

${\mathrm{CP}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AP}}^2-2\mathrm{AC}.\mathrm{AP}.\cos \widehat{\mathrm{CAP}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \cos \widehat{\mathrm{CAP}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{CAP}}=45°<90°\end{array}$

Vậy $\left(\widehat{\mathrm{AC};\mathrm{AP}}\right)=\widehat{\mathrm{CAP}}=45°$ hay $\left(\widehat{\mathrm{MN};\mathrm{AP}}\right)=45°$