Cho hàm số f(x) = (x^2−5x+6)/(căn bậc hai của (4x+1)−3) khi x lớn hơn 2; 2mx−1 khi x nhỏ hơn hoặc bằng 2

* Hướng dẫn giải

Tập xác định $\mathrm{D}=\mathrm{ℝ}$.

Khi  $\mathrm{x}\in \left(2;+\infty \right)$ thì  $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6}{\sqrt{4\mathrm{x}+1}-3}$ là hàm sơ cấp xác định trên $\left(2;+\infty \right)$ nên hàm số f(x)  liên tục trên $\left(2;+\infty \right)$

Khi  $\mathrm{x}\in \left(-\infty ;2\right)$ thì $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{mx}-1$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên $\left(-\infty ;2\right)$

Do đó hàm số liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 2.

Ta có: f(2) = 4m – 1.

$\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6}{\sqrt{4\mathrm{x}+1}-3}$$=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\sqrt{4\mathrm{x}+1}+3\right)}{\left(4\mathrm{x}+1-9\right)}$

$=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\sqrt{4\mathrm{x}+1}+3\right)}{4}$$=\frac{-3}{2}$

$\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\left(2\mathrm{mx}-1\right)=4\mathrm{m}-1$

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi:

$\mathrm{f}\left(2\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$$\iff 4\mathrm{m}-1=\frac{-3}{2}$$\iff \mathrm{m}=\frac{-1}{8}$

Chọn đáp án B.