Chứng minh rằng phương trình (m^2 + 1)x^3 – 2m^2.x^2 – 4x + m^2 + 1 = 0 luôn có 3 nghiệm

Đặt f(x) = (m² + 1)x³ – 2m²x² – 4x + m² + 1.

+ Hàm số f(x) = (m² + 1)x³ – 2m²x² – 4x + m² + 1 liên tục trên $\mathrm{ℝ}$.

+ Ta có: f(x) = m²(x³ – 2x² + 1) + x³ – 4x + 1

$\mathrm{f}\left(-3\right)=-44{\mathrm{m}}^2-14<0;\forall \mathrm{m}$

$\mathrm{f}\left(0\right)={\mathrm{m}}^2+1>0,\forall \mathrm{m}$

f(1) = – 2

$\mathrm{f}\left(2\right)={\mathrm{m}}^2+1>0;\forall \mathrm{m}$

Vì f(– 3).f(0) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (–3; 0).

Vì f(0).f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Vì f(1).f(2) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2).

Vậy phương trình  có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–3; 2), mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm.