Cho cấp số cộng (un) có u3 = 6 và u10 = 34.

1. a) Ta có công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là:

u_n = u₁ + (n - 1).d

u₃ = u₁ + 2d = 6 (*)

u₁₀ = u₁ + 9d = 34 (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

.$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{u}_1+2d=6\\ u_1+9d=34\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}7d=28\\ u_1+2d=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}d=4\\ u_1=6-2d=6-2.4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}d=4\\ u_1=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

b) Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng$S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$ .

Nên ta có S = u₁ + u₂ + ... + u₁₀ = S₁₀

_{$S_{10}=\frac{10.[2.\left(-2\right)+9.4]}{2}=160.$}

2. Gọi cấp số cộng (u_n) là: u_n = u₁ + (n - 1).d

Cấp số nhân (v_n) có công thức số hạng tổng quát là v_n = v₁.q^{n - 1}

Ba số v₁, v₄ và v₇ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của cấp số cộng (u_n) nên ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{v}_1=u_1\\ v_4=u_2\\ v_7=u_{10}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{v}_1=u_1\\ v_1.q^3=u_1+d\\ v_1.q^6=u_1+9d\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{v}_1=u_1\\ v_1.\left(q^3-1\right)=d\\ v_1.\left(q^6-1\right)=9d\end{array}\right. \end{gathered}$$

Þ v₁.(q⁶ - 1) - 9v₁.(q³ - 1) = 0

Û v₁.(q³ - 1)(q³ + 1 - 9) = 0

Û v₁.(q³ - 1)(q³ - 8) = 0 (***)

Vì d ¹ 0 nên v₁.(q³ - 1) ¹ 0

Vậy (***) thỏa mãn khi q³ - 8 = 0 suy ra q = 2.