Cho tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng a và có diện tích bằng S1

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng (1)

Công thức tính diện tích tam giác đều là:

 (với x là độ dài cạnh tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra được:

;$$\begin{gathered} S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ {S}_2=\frac{1}{2^2}.S_1=\frac{1}{2^2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{16} \\ {S}_2=\frac{1}{2^2}.S_2=\frac{1}{2^2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{16}=\frac{a^2\sqrt{3}}{64} \end{gathered}$$

.

Ta thấy S₁, S₂, S₃,..., là các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng thứ nhất là $u_1=S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  và công bội $q=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$ .

Do đó

.

Mà $S=S_1+S_2+S_3+\mathrm{...}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Do đó $\frac{a^2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff a=1.$

Vậy a = 1.