Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(BA = a,\,\,BC = 2a, SA = 2a,\,\,SA \bot (ABC)\).

* Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\left( {gt} \right)\\
BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot (SAB)\)

b) Gọi K là hình chiếu của A trên SC. Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB)

Trong (SBC) kẻ KH // BC \((H \in SB)\)

\( \Rightarrow KH \bot (SAB) \Rightarrow d(K,(SAB)) = KH\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt 5 ;\\
SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 5{a^2}}  = 3a;\\
S{A^2} = SK.SC \Rightarrow SK = \frac{{S{A^2}}}{{SC}} = \frac{{4{a^2}}}{{3a}} = \frac{{4a}}{3}.
\end{array} \right.\)

Vì KH // BC nên \(\frac{{KH}}{{BC}} = \frac{{SK}}{{SC}}\)

\( \Rightarrow KH = \frac{{SK.BC}}{{SC}} = \frac{{\frac{4}{3}a.2a}}{{3a}} = \frac{8}{9}a\)

Vậy \(d\left[ {K,\left( {SAB} \right)} \right] = KH = \frac{8}{9}a.\)