Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho AN=2NC, P thuộc cạnh BD sao cho BP = 3PD. a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).

* Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết có P là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).

Vì MN không song song với BC nên gọi \(E = MN \cap BC\), thì M là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).

Vậy \(PE = \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)

b) Giả sử \(PE \cap CD = I\) thì I là điểm chung của CD và mp (MNP), suy ra \(CD \cap \left( {MNP} \right) = I\)

Trong mặt phẳng (ABD), kéo dài MP và AD cắt nhau tại J, suy ra \(AD \cap \left( {MNP} \right) = J\)

Từ đó ta thấy N, I, J đều thuộc hai mặt phẳng (MNP) và (ACD) nên N, I, J thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD). Vậy 3 điểm N, I, J thẳng hàng.

c) Trong mặt phẳng (ABC) gọi \(F = MC \cap NB\)

Xét hai mặt phẳng (NBD) và (MCD) có hai điểm chung là điểm D và điểm F.

Suy ra, \(\left( {NBD} \right) \cap \left( {MCD} \right) = DF\)

Vì M, N cố định nên F cố định, do đó đường thẳng DF cố định. Hơn nữa \(K = MI \cap NP\)nên K thuộc cả hai mặt phẳng (NBD) và (MCD), ta có K thuộc đường thẳng DF cố định.