Chứng minh \(AD \bot BC\) biết tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng \(a\) và tam giác BCD cân tại D với \(DC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

* Hướng dẫn giải

1. Gọi M là trung điểm BC, ta có: \(\Delta ABC\) đều nên \(AM \bot BC\), \(\Delta DBC\) cân nên \(DM \bot BC \Rightarrow BC \bot (AMD) \Rightarrow BC \bot AD.\)

2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD, biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30⁰.

Theo gt ta có góc giữa MA và MD bằng 30⁰. Kẻ GN // CD, nối AN

+TH1: góc DAM bằng 30⁰, ta có: \(MD = a \Rightarrow MG = \frac{a}{3},\Delta ABC\) đều nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Áp dụng định lí cosin cho \(\Delta AMG\) 

ta có \(AG = \frac{{a\sqrt {13} }}{6},GN = \frac{{CD}}{3} = \frac{{a\sqrt 5 }}{6}.{\rm{   }}\Delta ANC\) có \(AN = \frac{{a\sqrt 7 }}{3}\). Trong \(\Delta ANG\) ta có:

 \({\rm{cos(AGN) = }}\frac{{ - 5}}{{\sqrt {65} }}\). Gọi góc \((AG;CD) = \alpha \) thì \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{5}{{\sqrt {65} }}\)  

+TH2: Góc AMD bằng 150⁰. Tính tương tự ta có: thì \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{13}}{{7\sqrt 5 }}\)