Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng \(\frac{{27}}{2}\) và tam giác ABC với A(2;1), B(- 1;2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng \(x + y - 2 = 0\).

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm AB, ta có : \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\). Gọi C(a ; b),

suy ra  \(G\left( {\frac{{a + 3}}{3};\frac{{b - 1}}{3}} \right) \in d \Rightarrow \frac{{a + 3}}{3} + \frac{{b - 1}}{3} - 2 = 0 \Rightarrow a + b - 4 = 0,(1)\),

mặt khác \(AB:3x - y - 5 = 0 \Rightarrow d(C;AB) = \frac{{\left| {3a - b - 5} \right|}}{{\sqrt {10} }}\) ,

Diện tích \(S = \frac{1}{2}AB.d(C;AB) = \frac{{27}}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt {10} \frac{{\left| {3a - b - 5} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{27}}{2} \Rightarrow \left| {3a - b - 5} \right| = 27,(2)\) 

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 4\\
3a - b = 32
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 4\\
3a - b =  - 22
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 9\\
b =  - 5
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {9; - 5} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{ - 9}}{2}\\
b = \frac{{17}}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{{ - 9}}{2};\frac{{17}}{2}} \right)
\end{array} \right.\)