Giải phương trình \(2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) + \sqrt 3 \cos 4x = 4{\cos ^2}x - 1\) 

* Hướng dẫn giải

1. \(2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) + \sqrt 3 \cos 4x = 4{\cos ^2}x - 1\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 1 - \cos \left( {\frac{\pi }{6} - 4x} \right) + \sqrt 3 \cos 4x = 2\left( {1 + \cos 2x} \right) - 1\\
 \Leftrightarrow \sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = 2\cos 2x\\
 \Leftrightarrow \cos \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos 2x\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x - \frac{\pi }{6} =  - 2x + k2\pi \\
4x - \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi 
\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

2.

+ \(x + 5y;5x + 2y;8x + y\) theo thứ tự lập thành CSC nên ta có:

\(\begin{array}{l}
x + 5y + 8x + y = 2\left( {5x + 2y} \right)\\
 \Leftrightarrow x = 2y\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

+ \({\left( {y - 1} \right)^2};xy - 1;{\left( {x + 2} \right)^2}\) theo thứ tự lập thành CSN nên ta có:

\(\begin{array}{l}
x + 5y + 8x + y = 2\left( {5x + 2y} \right)\\
 \Leftrightarrow x = 2y\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

+ \({\left( {y - 1} \right)^2};xy - 1;{\left( {x + 2} \right)^2}\) theo thứ tự lập thành CSN nên ta có:

\({\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2} = {\left( {xy - 1} \right)^2}\,\,\left( 2 \right)\) 

Thay (1) vào (2) ta đc:

\(\begin{array}{l}
{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {2y + 2} \right)^2} = {\left( {2{y^2} - 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow 4\left( {{y^4} - 2{y^2} + 1} \right) = 4{y^4} - 4{y^2} + 1\\
 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x =  - \sqrt 3 \\
y = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array}\)