Tính tổng \(S = 2.1C_n^2 + 3.2C_n^3 + 4.3C_n^4 + ... + n(n - 1)C_n^n\)  

* Hướng dẫn giải

1. \(S = 2.1C_n^2 + 3.2C_n^3 + 4.3C_n^4 + ... + n(n - 1)C_n^n\)

Số hạng tổng quát:

\(\begin{array}{l}
{u_k} = k\left( {k - 1} \right)C_n^k = k\left( {k - 1} \right)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\\
 = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {k - 2} \right)!\left[ {\left( {n - 2} \right)! - \left( {k - 2} \right)!} \right]}}\\
 = n\left( {n - 1} \right)C_{n - 2}^{k - 2}\left( {2 \le k \le n} \right)
\end{array}\)

\(S = n\left( {n - 1} \right)\left( {C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + ... + C_{n - 2}^{n - 2}} \right) = n\left( {n - 1} \right){2^{n - 2}}\)

2. Số phần tử của không gian mẫu: \({n_\Omega } = A_{10}^6 - A_9^5 = 136080\) 

Số các số tự nhiên có 6 chữ số có3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ là :

TH1: (số tạo thành không chứa số 0)

+ Lấy ra 3 số chẵn có: \(C_4^3\) 

+ Lấy ra 3 số lẻ có: \(C_4^5\)  

+ Số các hoán vị của 6 số trên: 6!

Suy ra số các số tạo thành: \(C_4^3.C_5^3.6! = 28800\) 

TH2: (số tạo thành có số 0)

+ Lấy ra hai số chẵn khác 0: \(C_4^2\)

+ Lấy ra 3 số lẻ: \(C_5^3\)

+ Số các hoán vị không có số) đứng đầu: \(6! - 5! = 5.5!\) 

Số các số tạo thành: \(C_4^2.C_5^3.5.5! = 36000\)

Gọi biến cố A: “số đuợc chọn có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ”

Suy ra : \({n_A} = 28800 + 36000 = 64800\) 

Xác suất xảy ra biến cố A: \({P_A} = \frac{{{n_A}}}{{{n_\Omega }}} = \frac{{64800}}{{136080}} = \frac{{10}}{{21}}\)