Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (P) biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn BC = 2a đáy bé AD = a , AB = b.

* Hướng dẫn giải

+ Từ M kẻ đuờng thẳng song song với BC và SA lần luợt cắt DC tại N, SB tại Q.

+ Từ Q kẻ đuờng thẳng song song với BC cắt SC tại P.

Thiết diện hình thang cân MNPQ

+ Tính diện tích MNPQ

Ta tính đuợc \(MQ = NP = \frac{{b - x}}{b}a,PQ = \frac{{2.a.x}}{b};MN = \frac{{ab + ax}}{b}\)  từ đó tính đuợc \(QK = \frac{{ab - a.x}}{b}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

Suy ra diện tích MNPQ là: \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}\left( {MN + PQ} \right).QK = \frac{{\sqrt 3 .{a^2}}}{{4{b^2}}}\left( {b - x} \right)\left( {b + 3x} \right)\)

\({S_{MNPQ}} = \frac{{\sqrt 3 .{a^2}}}{{4{b^2}}}\left( {b - x} \right)\left( {b + 3x} \right) \le \frac{{\sqrt 3 .{a^2}}}{{12{b^2}}}{\left( {\frac{{3b - 3.x + b + 3.x}}{2}} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 .{a^2}}}{{12}}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x = \frac{b}{3}\).