Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình \(\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x + 1}} = 0\) trên đoạn \(\left[

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos x + 1 \ne 0\\
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne  - 1\\
1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).
\end{array}\) 

Mà \(x \in \left[ {0;2017\pi } \right]\)

\(\begin{array}{l}
 \to x = k2\pi  \in \left[ {0;2017\pi } \right]\\
 \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{{2017}}{2}
\end{array}\)

 Suy ra \(k = \left\{ {0;1;2;...;1008} \right\}.\) 

Khi đó \(S = 2\pi  + 4\pi  + ... + 2016\pi .\) 

Dễ thấy S là tổng của CSC với

\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = d = 2\pi \\
{u_n} = 2016\pi 
\end{array} \right. \Rightarrow n = 1008.\) 

Suy ra:

\(\begin{array}{l}
S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\\
 = \frac{{1008.\left( {2\pi  + 2016\pi } \right)}}{2}\\
 = 1008.1009\pi  = 1017072\pi .
\end{array}\)