Cho tứ diệnABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(RQ.\) Nối \(P\) với \(I,\) cắt \(AD\) tại \(S\,.\)

Ta có \(\frac{{DI}}{{IB}}.\frac{{BR}}{{RC}}.\frac{{CQ}}{{QD}} = 1\) mà \(\frac{{CQ}}{{QD}} = 2\) suy ra \(\frac{{DI}}{{IB}}.\frac{{BR}}{{RC}} = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IB}} = \frac{1}{2}.\frac{{RC}}{{BR}}\,.\)

Vì \(PR\) song song với \(AC\) suy ra \(\frac{{RC}}{{BR}} = \frac{{AP}}{{PB}}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{DI}}{{IB}} = \frac{1}{2}.\frac{{AP}}{{PB}}\,.\)

Lại có \(\frac{{SA}}{{SD}}.\frac{{DI}}{{IB}}.\frac{{BP}}{{PA}} = 1\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{SA}}{{SD}}.\frac{1}{2}.\frac{{AP}}{{PB}}.\frac{{BP}}{{PA}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{SA}}{{SD}} = 2\, \Rightarrow \,\,AD = 3\,DS.\)