Chứng minh rằng với n thuộc N*: 4^n + 15n – 1 chia hết cho 9

* Hướng dẫn giải

4n + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt An = 4n + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Ak + 1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1

         = 4.4k + 15k + 15 – 1

         = 4.(4k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

         = 4.(4k +15k- 1) – 45k + 18

         = 4. Ak + (- 45k + 18)

Ta có: Ak⋮ 9 và ( - 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9

Nên Ak + 1 ⋮ 9

Vậy 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*